從繪圖軟體到ChatGPT，AI的浪潮正以前所未有的速度席捲全球！不知道同學們是否也對這個充滿魔力的領域感到好奇，渴望未來能投身其中呢？很多人可能會以為，學AI就是學寫程式，但其實，驅動一切技術的真正引擎，是我們既熟悉又陌生的「數學」。

今天我們要先聚焦在AI領域的其中兩大數學基石：線性代數與微積分。一起來看看高中數學社本裡的方程組、矩陣、函數......，是如何成為建構類神經網路、優化機器學習模型的基礎關鍵，學好高中數學，為自己打開通往AI世界的大門吧！

 

在AI的世界裡，資料的表達與運算扮演著核心角色，而我們在高中所學的線性代數，就是理解這些複雜過程的關鍵基礎，無論是機器學習、深度學習或是數據分析，都離不開向量與矩陣的運用。

在AI領域中，所有資料，從圖片的像素值、文字的詞向量，到複雜數據集的特徵，都廣泛以向量與矩陣的形式存在。舉例來說，一張圖片可以被表示為一個巨大的矩陣，其中每個元素代表一個像素點的顏色或亮度；而模型學習到的「權重」和從資料中提取的「特徵向量」，也都是以向量或矩陣的形式儲存和處理。理解這些基本的運算，如向量加減、純量乘法、矩陣加減等，是解讀AI模型內部如何處理和學習資料的入門磚。

矩陣乘法與轉置在神經網路中更是不可或缺。同學們可以把神經網路的運作，想像成一連串的矩陣乘法，從輸入資料經過一層層神經元的「前向傳播」（Forward Propagation）計算（即資料如何通過網路產生輸出），到根據輸出誤差調整模型參數的「反向傳播」（Back Propagation）（即學習過程），矩陣乘法與轉置都扮演著核心的運算角色。簡單來說，它們是計算模型預測值、更新模型參數、甚至調整神經元連接強度的基礎。

在某些進階的AI演算法，尤其是在解決線性系統的問題時，行列式與逆矩陣的概念便會派上用場。例如，在線性回歸、主成分分析（PCA）等演算法中，我們可能需要判斷一個線性方程組是否存在唯一解，或者需要求解線性系統。這個時候，行列式可以幫助我們判斷矩陣是否可逆，進而判斷線性系統的可解性；而逆矩陣則能提供直接求解線性系統的工具。這些概念對於理解某些AI模型的穩定性、可解性及數據轉換的原理至關重要。

 

透過上面的介紹，我們可以知道，如果能在高中先幫自己打下線性代數的基礎觀念，將能幫助同學在未來更深入理解AI模型如何處理和學習資料，是對這個領域有興趣的同學們不可或缺的知識。

 

在AI領域，訓練出高效能的模型是我們的目標，而「優化演算法」正是實現這一目標的關鍵。微積分——特別是微分學，為這些優化過程提供了不可或缺的數學工具。透過微積分，AI模型得以不斷調整，以達到最佳的預測或分類效果。

在AI模型訓練過程中，常常需要衡量模型的預測結果與真實值之間的「誤差」，這個誤差通常用「損失函數」（Loss Function）來表示。導數與微分的核心作用，就是幫助我們計算這個損失函數的變化率，透過計算損失函數對模型參數的導數（即梯度），就能知道當參數微小變動時，損失函數會如何變化，這就是「梯度下降法」（Gradient Descent）的基石，而梯度下降法則是目前訓練幾乎所有機器學習與深度學習模型最常用的優化演算法，它引導模型參數朝著損失函數最小化的方向不斷調整，使模型表現越來越好。

實際的AI模型往往包含數百萬甚至數十億個參數，損失函數是這些多個參數的「多變數函數」，在這種情況下，我們需要使用「偏導數」來計算損失函數對其中單一參數的影響。偏導數告訴我們，當其他參數保持不變時，單一參數的微小變化會如何影響損失函數，透過計算每個參數的偏導數，優化演算法能夠精確地求取模型中每個參數的更新方向和幅度，確保模型在多維度空間中有效率地找到最佳參數組合。

雖然在AI模型訓練的核心優化過程中，微分的應用更為直接和頻繁，但積分概念在AI的某些進階分析和理論推導中也佔有一席之地。例如，在機率論和統計學中，積分用於計算連續隨機變數的機率密度函數下的面積，這對於理解某些AI模型的機率基礎至關重要。此外，在分析長期或連續數據的誤差累積、或者在某些特定的AI系統（如控制系統、時間序列分析）中，積分概念也能幫助我們理解和建模連續變化的現象，為AI的理論研究和複雜系統設計提供數學支援。

 

總之，微積分可以說是AI模型的學習與優化提供了強大的數學框架，理解導數、偏導數及其在梯度下降中的應用，是掌握現代AI技術的必備知識。高中數學中的函數概念、極限概念，都是學習微積分的紮實基礎。

 

不可否認的是，高中數學將會是同學們未來前往AI領域，最關鍵且最重要的一顆敲門磚，無論是線性代數中的矩陣運算，或是微積分中的導數與梯度下降，這些數學知識都深植於AI模型運作的核心，也就是說若想在AI浪潮中搶得先機，擁有紮實的數學基礎至關重要。

但我們也知道，在高中階段，要在數學——尤其是數A——取得耀眼的成績，有它一定程度的挑戰性，更多時候，我們遇到的狀況是「愛人會離開你，朋友會背叛你，但數學不會，數學不會就是不會」的窘境。其實很多時候，我們欠缺的不是對學習的熱忱，也不是對自己的鼓勵或鞭策，而是沒有找到正確的學習方法！

STOODY深知數學在AI時代的關鍵地位，同時也致力於為同學們提供由專業師資開授的線上數學教學！

 

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