你是否曾經因為三角函數感到頭痛不已，覺得它既抽象又難懂？別擔心，其實三角函數並沒有想像中那麼難！本文將帶你了解三角函數的定義與公式，並分享考生必備的5個讀書方法與三角函數常見Q&A，讓你有效掌握這門看似複雜的學習單元！
 

三角函數的定義

三角函數是數學中研究三角形邊長與角度關係的函數，尤其在直角三角形中應用最廣。它將角度與數值建立起對應關係，是描述週期性現象（如波、震動）的重要工具。

在直角三角形中，最基本的三個三角函數是正弦（sine, 簡寫為 sin）、餘弦（cosine, 簡寫為 cos）和正切（tangent, 簡寫為 tan）。

• sin（正弦）：定義為「對邊長」與「斜邊長」的比值。

• cos（餘弦）：定義為「鄰邊長」與「斜邊長」的比值。

• tan（正切）：定義為「對邊長」與「鄰邊長」的比值，也可表示為 sin 除以 cos。

這些定義不僅適用於直角三角形，透過單位圓的概念，三角函數的定義可以推廣到任意角度，使其成為分析複雜週期性現象的強大工具，廣泛應用於物理、工程、天文學等領域。

 

三角函數公式一次看

倒數關係：

• `csc θ = 1 / sin θ` （餘割是正弦的倒數）

• `sec θ = 1 / cos θ` （正割是餘弦的倒數）

• `cot θ = 1 / tan θ` （餘切是正切的倒數）

這些關係式反映了各三角函數之間的互補性。

商數關係：

• `tan θ = sin θ / cos θ`

• `cot θ = cos θ / sin θ`

這兩條公式建立正切、餘切與正弦、餘弦之間的關係，是推導其他公式的基礎。

平方關係（畢氏定理）：

• `sin² θ + cos² θ = 1`

• `1 + tan² θ = sec² θ`

• `1 + cot² θ = csc² θ`

這些公式源自於直角三角形的畢氏定理，是三角函數中最核心的恆等式，常用於簡化表達式或解三角方程式。

和角與差角公式：

• `sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B`

• `cos (A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B`

• `tan (A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)`

這些公式用於將兩個角的和或差的三角函數值，轉換成這兩個角各自三角函數值的組合，在解析幾何、物理等領域有重要應用。

二倍角公式：

• `sin 2θ = 2 sin θ cos θ`

• `cos 2θ = cos² θ - sin² θ = 2 cos² θ - 1 = 1 - 2 sin² θ`

• `tan 2θ = 2 tan θ / (1 - tan² θ)`

二倍角公式可以從和角公式推導而來，常用於將高次項降次或簡化涉及兩倍角的表達式。

半角公式：

• `sin² (θ/2) = (1 - cos θ) / 2`

• `cos² (θ/2) = (1 + cos θ) / 2`

• `tan (θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ`

半角公式則可以幫助我們計算半角的三角函數值，通常與二倍角公式互補應用。
 

如何有效學習與記憶三角函數？考生必備的讀書攻略！

面對這些看似繁瑣的公式與抽象的定義，請同學們千萬不要死記硬背！事實上，有效的學習方法比盲目記憶來得重要。以下五大學習重點，為同學們提供一套全面的學習攻略，讓大家更有效理解、記憶並應用三角函數公式。

從基礎出發！理解概念勝於死背公式

從最基礎的直角三角形定義出發，透過圖像來觀察sin、cos、tan隨著角度變化所呈現的週期性與數值關係。視覺化的學習方式，能幫助大腦建立更深層次的記憶連結，將抽象的符號轉化為具體的幾何圖像，進而更靈活地運用公式。在理解概念之後，即使忘記某個公式，也能根據基本原理重新推導，而非束手無策。

培養手感從平日做起，多做題目與錯題整理

在理解三角函數的定義和公式後，就要透過練習來強化應用能力了。同學不妨從基礎開始，逐步挑戰變化題、綜合題，特別是結合不同公式或跨單元的混合題型，提升自己的綜合解題能力。也可以在練習過程中，建立一本專屬的「錯題本」，將做錯的題目、容易混淆的公式、概念不清的點整理下來定期複習，針對弱點加強練習，避免重複犯錯。

學會使用三角函數圖形與變化分析

三角函數的圖形是理解其週期性與變化的重要工具，透過圖形變化分析，不僅能幫助同學們直觀地判斷函數的性質，在面對與圖形相關的考題時，也能提高判讀的準確性與效率，此外，多練習將代數式與圖形互相轉換的題目，培養對三角函數圖形的敏銳度，也有助於解題思維的拓展。

活用三角函數表與特殊角值

在三角函數中，一些特殊角度（如0°、30°、45°、60°、90°等）的三角函數值是考試的常考重點，掌握這些特殊角值，不僅能加快計算速度，也是許多複雜問題的解題基礎。另一方面，學會查閱或在必要時推導三角函數表，也能確保在沒有計算機的情況下也能完成相關計算。

利用 App 或線上工具互動練習

當前市面上有許多優質的學習App或線上平台，也可以提供充分的互動式學習。以STOODY思無敵雲端教育而言，我們除了提供即時互動學習的基本服務以外，同學們也可以利用STOODY所推出的解題APP，遇到問題就拍照上傳，獲得圖文解析，未來甚至也可以觀看主題式的影音課程，深化個別學習觀念。
 

三角函數相關FAQ

有關三角函數，還有一些常見的問題，以下我們也為同學們一一整理並提供說明：

三角函數可以用在哪些實際應用中？

三角函數的應用範圍極廣，遠不止於數學課本。在物理學中，它常用來描述波（如聲波、光波）的性質、交流電的週期變化及簡諧運動。在工程領域，建築師和工程師會利用三角函數計算結構的受力、角度與距離，例如橋樑設計、機械零件尺寸。天文學家則用它來測量星球間的距離和軌道，甚至在地理學中，三角測量法也是繪製地圖和定位的重要技術。

三角函數背不起來？有好記的口訣嗎？

對於三角函數的定義，最常見且好記的口訣是針對直角三角形的「SOH CAH TOA」。

SOH：Sine = Opposite / Hypotenuse (正弦 = 對邊 / 斜邊)

CAH：Cosine = Adjacent / Hypotenuse (餘弦 = 鄰邊 / 斜邊)

TOA：Tangent = Opposite / Adjacent (正切 = 對邊 / 鄰邊)

這些口訣能幫助你快速回憶起sin、cos、tan的定義。至於其他進階公式，則建議理解推導過程而非純粹死背，例如平方關係式(`sin²θ + cos²θ = 1`)可聯想到畢氏定理；和角、差角公式則可透過單位圓或圖形輔助記憶。

什麼是反三角函數？有什麼用途？

反三角函數是三角函數的反向運算，用來找出已知三角函數值所對應的角度。例如，如果 `sin θ = x`，那麼 `θ = arcsin x`（或寫作 `sin⁻¹x`）。常見的反三角函數有反正弦（arcsin）、反餘弦（arccos）和反正切（arctan）。它們的用途非常廣泛，例如在導航中計算方位角，在工程中計算機器人手臂的關節角度，在電腦圖學中計算光線反射角度，以及在物理學中求解各種週期性問題的角度。

三角函數值的範圍是多少？

正弦函數 (sin θ) 和 餘弦函數 (cos θ) 的值域都在 `[-1, 1]` 之間，也就是說，不論角度是多少，sin θ 和 cos θ 的值永遠介於 -1 和 1 之間（包含 -1 和 1）。

正切函數 (tan θ) 的值域為所有實數 `(-∞, ∞)`，因為它的值可以是任意大的正數或負數。但在某些特定角度（如 90°、270° 等奇數倍的 90°）時，tan θ 是無定義的。

其餘三個倒數函數（sec θ, csc θ, cot θ）的值域則依此類推。

常見的三角函數恆等式有哪些？

三角函數恆等式是無論角度為何都成立的等式，是解決三角函數問題的基礎。常見的恆等式包括：

• 畢氏恆等式：`sin² θ + cos² θ = 1`，以及由此衍生的 `1 + tan² θ = sec² θ` 和 `1 + cot² θ = csc² θ`。
• 倒數關係：`csc θ = 1/sin θ`，`sec θ = 1/cos θ`，`cot θ = 1/tan θ`。
• 商數關係：`tan θ = sin θ / cos θ`，`cot θ = cos θ / sin θ`。
• 和角與差角公式：如 `sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B`。
• 二倍角公式：如 `sin 2θ = 2 sin θ cos θ`。
• 這些恆等式在簡化表達式、證明其他數學命題以及解決三角函數方程式時至關重要。
   

STOODY思無敵雲端教育：你的三角函數解題好夥伴！

讓STOODY為你掌握三角函數的一切學習重點！我們提供全方位的課程服務與輔導，讓你輕鬆掌握學習關鍵。互動式線上一對一即時課程，為同學量身打造專屬學習計劃。線上小班制專案課程，用更親民的價格享有精緻學習品質。近期我們更推出解題APP，購買解題服務的同學，如果在學習的過程中遇到問題，就可以拍照上傳，獲得詳細的圖文解析。未來我們也將推出一系列主題式影音課程，深化個別學習觀念。活潑且有彈性的學習方法，打破傳統學習瓶頸，不只讓同學戰勝「三角函數」這個大魔王，針對其他科目與學習單元的弱點，也一定可以一一擊破！
 

結論

事實上，任何科目、單元的學習關鍵，都在於理解概念與有效的練習，而STOODY思無敵雲端教育平台正是同學們的最佳學伴，透過專業師資、即時線上課程與互動式解題App，解決同學們學習的疑難雜症。一起告別死背公式，讓我們幫助你輕鬆掌握三角函數，征服段考，迎戰學測！

【延伸閱讀】108課綱高中數學該如何準備？從排列組合與機率談起
【延伸閱讀】戰勝排列組合（一）：如何計算組合數C(m, n)：從概念到實作，搞懂C的算法！
【延伸閱讀】戰勝排列組合（二）如何計算排列公式P(m, n)：「重複問題」的概念解釋及範例