你知道嗎？當你在玩遊戲時，角色的移動、旋轉、放大縮小，其實背後都是數學在運作。從機器人手臂的定位，到影像的剪裁與翻轉，這些看似複雜的動作，其實都可以用一個簡單的工具來完成——矩陣。在這篇文章中，我們將帶你一步步認識矩陣幾何變換的原理與操作方式，並透過真實範例，讓你看見數學如何在科技世界中發揮力量。
 

在二維平面上，我們可以用向量來表示一個點的位置，例如\(M=\pmatrix {x \cr y \cr}\)。當我們想要讓這個點移動、旋轉、放大或變形時，只要對它乘上一個矩陣 M，就能一次完成上述幾何變換：

\(v' = M\cdot v\)
這種方式不只簡潔，而且非常適合用在電腦裡進行圖形處理。而且，只要這個矩陣 M 是可逆的（也就是它的行列式 det(M) ≠ 0），我們就可以用它的反矩陣 M⁻¹ 把變換後的點還原回原來的位置：
\(M^{-1}\cdot (Mv)=v\)

 

二、常見的幾何變換有哪些？矩陣怎麼表示？

變換類型	變換矩陣M	幾何效果	範例計算	應用場合
縮放	\(\pmatrix {s_x & 0 \cr 0 & s_y \cr}\)	於x軸放大sx，於y軸放大sy	\(M=\pmatrix {2 & 0 \cr 0 & 3 \cr} , v=(1,2)\mapsto(2,6)\)	圖像放大、機器人視野調整
旋轉	\(\pmatrix {\cos\theta & -\sin\theta \cr \sin\theta & \cos\theta \cr}\)	逆時針旋轉θ角度	\(\theta=90°, M=\pmatrix {0 & -1 \cr 1 & 0 \cr} , (1,0)\mapsto(0,1)\)	遊戲角色轉向、影像旋轉
剪切（水平）	\(\pmatrix {1 & k \cr 0 & 1 \cr}\)	x座標依比例k矩形剪切	\(k=1, (2,1)\mapsto(3,1)\)	影像變形、視覺特效
剪切（垂直）	\(\pmatrix {1 & 0 \cr k & 1 \cr}\)	y座標依比例k矩形剪切	\(k=2, (1,2)\mapsto(1,4)\)	建築圖形變形模擬
反射（x軸）	\(\pmatrix {1 & 0 \cr 0 & -1 \cr}\)	關於x軸鏡射	\((3,2)\mapsto(3,-2)\)	影像翻轉、鏡像處理
反射（y軸）	\(\pmatrix {-1 & 0 \cr 0 & 1 \cr}\)	關於y軸鏡射	\((3,2)\mapsto(-3,2)\)	鏡像辨識、視覺對稱分析

（由於表格內容繁多，建議手機用戶將螢幕橫放閱讀喔！）
以上是幾種常見的二維幾何變換，以及它們的矩陣表示方式與應用範例。透過這張表格，我們可以發現，上述每種變換都可以用一個簡單的矩陣來表示。
 

三、平移怎麼辦？齊次座標來幫忙

你可能會問：「如果我只是想把一個點往右移 3 單位、往上移 2 單位，為什麼不能用 2×2 矩陣？」這是因為平移不是線性變換，無法用一般矩陣直接表示。這時我們就會引入「齊次座標」，也就是把原本的二維向量變成三維：
\(\tilde{v} =\pmatrix {x \cr y \cr 1}, T=\pmatrix {1 & 0 & {t_x} \cr 0 & 1 & {t_y} \cr 0 & 0 & 1}, v'=T\tilde{v} \)

以上面的例子而言，「往右移 3 單位、往上移 2 單位」，即為：
\(T=\pmatrix {1 & 0 & 3 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1}, (1,1,1)^T\mapsto(4,3,1)^T\)

這樣一來，就能把點 (x, y) 平移成 (x + t_x, y + t_y)。這種方法在電腦圖形學中非常常見，像是 Photoshop 裡的「移動工具」，背後就是這樣的矩陣在運作。
 

四、多種變換怎麼合併？還原又怎麼做？

在真實應用中，我們通常不會只做一種變換。這時我們會需要把多個矩陣依序相乘，形成一個「組合變換矩陣」：

\(v' = {M_3}({M_2}({M_1}v)) = (M_3 M_2 M_1)v\)

需要留意的是，矩陣乘法的順序很重要，不能隨便顛倒！
此外，如果我們想要把變換後的點還原回原始位置，只要這個組合矩陣\(M=M_3M_2M_1\)是可逆的，就可以利用它的反矩陣：
\(v = M^{-1} v' = ({M_1}^{-1}{M_2}^{-1}{M_3}^{-1})v'\)

 

範例解析：縮放後再旋轉，怎麼還原原始座標？

現在，假設你是一位機器人設計師，正在模擬機器人手臂的動作。你讓手臂先放大（伸長），再旋轉（轉向），最後希望知道：原本的起始位置在哪裡？這就是矩陣組合變換與反矩陣還原的實際應用了。讓我們來看一個簡化的數學範例：

步驟一：原始點座標

原點 A 的座標是 (1, 0)，也就是在 x 軸上。

步驟二：進行縮放

我們先讓 x 軸與 y 軸都放大 2 倍，使用縮放矩陣：\(S=\pmatrix {2 & 0 \cr 0 & 2 \cr}\) ，得A₁ = (2,0)。

步驟三：進行旋轉

接著我們讓這個點逆時針旋轉 90°，使用旋轉矩陣：\(R=\pmatrix {0 & -1 \cr 1 & 0 \cr}\)，得A₂ = (0,2)。

步驟四：組合變換矩陣

我們可以把這兩個變換合併成一個矩陣：\(M = RS\)，則：
\(M=\pmatrix {0 & -1 \cr 1 & 0 \cr}\pmatrix {2 & 0 \cr 0 & 2 \cr}=\pmatrix {0 & -2 \cr 2 & 0 \cr}, \)
\(A_2=MA=(0,2)\)
這個矩陣 M 就是「先縮放再旋轉」的組合變換。

步驟五：還原原始座標

現在我們想知道：如果只知道 A₂ = (0, 2)，那要怎麼找回原本的 A？這時只要使用 M 的反矩陣：\(M^{-1}=(S^{-1}R^{-1})\)
其中：
\(S^{-1} = \pmatrix {\frac 12 & 0 \cr 0 & \frac 12 \cr}, R^{-1} = \pmatrix {0 & 1 \cr -1 & 0 \cr}\)
所以：
\(M^{-1} = \pmatrix {\frac 12 & 0 \cr 0 & \frac 12 \cr}\pmatrix {0 & 1 \cr -1 & 0 \cr} = \pmatrix {0 & \frac 12 \cr -\frac 12 & 0 \cr}\), \(v=M^{-1}(0,2)^T=(1,0)\)

這樣一來，就能成功還原原始座標了！
 

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