「學數學到底有什麼用？」面對抽象符號與複雜的多項式時，你也為此感到困惑嗎？事實上，這些看似枯燥的課本知識，正是驅動現代科技與金融世界的底層密碼！本文聚焦108課綱數學的「實數與多項式」單元，透過10個橫跨工程、財務到資訊科學的驚人應用，與你一起見證數學的真實力量：不只是為了考試，更是解鎖未來的萬能鑰匙！

 

一、實數系：從財務報表到工程藍圖的基礎語言

 

在深入探索前，讓我們先回到最根本的起點：實數。實數包含所有我們在國高中階段會用到的數字，從簡單的整數、分數，到有點神秘的無理數（如 π 或√2）。它們是我們衡量世界、進行計算的基礎，更是建構所有複雜科學模型的磚瓦。

 

有理數 (Rational Number) ——精準計算的基石

簡單來說，有理數就是任何可表示成分數 \({p \over q}\) 的數字（其中 p 和 q 都是整數，且 q 不為0）。它們最大的特色是，在小數點後要嘛會「除得盡」（如 \({1 \over 2}\)=0.5 ），要嘛會「無限循環」（如 \({1 \over 3}\)=0.333… ）。這個「規律性」讓它們在需要精確計算的領域中，扮演不可或缺的角色。
 

應用範例：財務分析中的股東分紅

想像一下，一家公司年終宣布要將總利潤 P 元，分給所有股東。在財務的世界裡，每一分錢都必須算得清清楚楚，假設某位股東的持股比例是 \({p \over q}\) （例如，持有公司全部股票的千分之三，即 \({3 \over 1000}\) ），那麼他應得的分紅金額就是 P × \({p \over q}\) 。

為什麼這裡必須用到有理數？因為財務計算和電腦系統最重視的就是「可預測性」與「精確度」。有理數可被輕易轉換為有限小數或循環小數，讓電腦程式和銀行的會計系統能夠進行無誤差的自動化運算。不論計算股利、貸款利率，還是分析財報上的營收占比，背後都是有理數在確保每一筆帳目都能精準對齊，不會因為無限且不循環的小數而產生任何一絲誤差。
 

無理數與實數大小 (Irrational Number & Real Number Magnitude) ——描繪真實世界的物理尺寸

與有理數相對的，就是無理數。它們無法表示成分數，小數點後的數字無限延伸且永不循環。最經典的例子就是圓周率 π 或\( {\sqrt{2} }\)。無理數雖然看似「不講理」，卻是描繪真實世界物理形態時不可或缺的工具。
 

應用範例：工程測量中的斜桿投影

假設一位建築師正在設計一個有斜梁支撐的結構，已知斜梁的長度為 L，它所支撐的高度差為 h。為了繪製精確的工程藍圖，他必須計算出這根斜梁在水平地面上的投影長度 d。根據畢氏定理，這個長度是 d=\( {\sqrt{L^2-h^2} }\)

在真實物理世界中，尺寸很少會是完美的整數。如果斜梁長 L=5 公尺，高差 h=3 公尺，那麼水平投影 d=\( {\sqrt{5^2-3^2} }\)=\( {\sqrt{16} }\)=4 公尺，這是一個有理數。如果 L=5，h=4 呢？就會是 d=\( {\sqrt{5^2-4^2} }\)=\( {\sqrt{9} }\)=3 。但如果 L=5，h=2 呢？那就會是 d=\( {\sqrt{5^2-2^2} }\)=\( {\sqrt{21} }\)，\( {\sqrt{21} }\)就是一個無理數。

工程師無法用尺量出一個「絕對精確」的\( {\sqrt{21} }\)，但在數值運算中，他們會根據所需要的精度，將其近似為 4.583 公尺或 4.5826 公尺。這正是「實數大小」概念的體現：我們知道\( {\sqrt{21} }\)是一個確切存在的長度，並利用浮點數運算來逼近它，以完成各種精密工程的計算與設計。
 

絕對值 (Absolute Value) ——定義工業製造的容許誤差

一個數字的絕對值，代表它在數線上與「0」的距離，符號是 \(\mid x \mid\)。它的核心精神是「只看大小，不問正負」。例如，賺了100元（+100）和賠了100元（-100），變動的「幅度」都是100元。
 

應用範例：精密機械的誤差分析

在工業製造中，任何零件都不可能做到百分之百的完美。假設一個軸承的標準直徑（真值）應為 x=50.00 mm，但機器實際生產出來的產品（讀值）為\(\tilde{x}\) =50.02 mm。為了品管，我們必須量化這個差距。

這個差距，我們稱為「誤差」，計算方式是「讀值減真值」。在這個例子中，誤差是 50.02−50.00=+0.02 mm。如果另一件產品是 49.98 mm，誤差就是 49.98−50.00=−0.02 mm。

對於品管工程師來說，「+0.02」 和 「-0.02」 的偏差程度是一樣嚴重的，這時絕對值就派上用場了。我們計算絕對誤差 \(\mid \tilde{x} - x \mid\)，無論是 ∣+0.02∣ 還是 ∣−0.02∣，結果都是 0.02 mm。工廠的品管規範會直接寫明：「此零件的絕對誤差不得超過 0.03 mm」，也就是 ∣\(\tilde{x}\)−50.00∣≤0.03 mm。透過絕對值清楚界定產品是否合格，成為現代工業精密製造的基礎。

 

二、數學式運算：編寫科技世界的邏輯與腳本

 

如果說「實數」是構成世界的磚瓦，那麼「數學式運算」（包含多項式、分式等）就是將這些磚瓦組建成宏偉建築的設計藍圖與施工方法。我們反覆練習的公式推導與化簡，正是科學家與工程師用來描述、預測並創造的語言。

 

乘法公式與差平方——加速電腦視覺的運算技巧

你一定還記得 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) 這些乘法公式。在考試中，它們是化簡題目的捷徑。但在電腦科學中，它們是提升運算效率的「演算法」。特別像 \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\) 這樣的恆等式，它揭示了「加減」與「乘法」之間的奇妙關係，讓電腦能用更快的路徑完成複雜的計算。
 

應用範例：手機濾鏡中的影像邊緣檢測

當你打開相機，套上一個讓輪廓更清晰的「銳化」濾鏡時，背後就有乘法公式的功勞。電腦要判斷一張圖片的「邊緣」（例如人物的輪廓、建築的線條），就是要找出相鄰像素之間「亮度差異」劇烈的地方。

一張數位照片由數百萬個像素點組成，每個像素都有一個亮度值。為了找出邊緣，演算法需要快速計算相鄰像素（亮度為 a 和 b）之間的差異程度。這個過程會涉及到大量的相乘運算，非常消耗處理器資源。

然而，電腦執行加、減、平方的運算速度，通常比執行乘法要快得多。因此，工程師會利用 \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\) 這類恆等式，將演算法中的大量「乘法」運算，轉換成等價的「加減與平方」運算。對於需要即時處理數百萬像素的手機來說，這個看似微小的改變，卻是讓濾鏡流暢不卡頓、快速識別出影像邊緣的關鍵加速密技。
 

分式與根式運算——設計通訊設備的濾波器

分式（分子分母都是多項式的分數）與根式（帶有根號的算式）是代數運算中的常客。在學校裡，我們學習如何化簡它們、找出讓分母為零的「極點」(poles) 與讓分子為零的「零點」(zeros)。這些練習看似抽象，卻是現代通訊與訊號處理的核心。
【關於「讓分母為零的『極點』(poles)」，Woody還想說......】
 

應用範例：音響或手機中的訊號濾波器

無論是耳機的「降噪」功能，還是音響的「重低音」強化，背後都有一個稱為「濾波器」(Filter) 的電子元件或演算法在運作。它的任務就是篩選訊號：只讓特定頻率的訊號通過，並阻擋掉其他頻率的訊號。在電子工程學中，一個濾波器的特性可以由一個稱為「轉移函數」(Transfer Function) 的數學式來精確描述，而這個函數的標準形式，就是一個分式。

這個分式的變數代表訊號的頻率。工程師透過設計分式的分子與分母（通常會包含根式運算），來決定哪些頻率是「零點」（會被濾掉的雜訊），哪些頻率是「極點」（會被保留或放大的目標訊號）。所以，當你戴上降噪耳機，享受寧靜的音樂時，其實是耳機裡的晶片正在高速進行分式與根式運算，精準地濾掉周遭環境的噪音頻率。
 

餘式定理與根的判定——確保自動控制系統的穩定

餘式定理告訴我們，想知道一個多項式 f(x) 除以 (x−c) 的餘數，不需要真的去除，只要計算 f(c) 的值即可。這個定理延伸出的「因式定理」與「有理根判定」，更是一套強大的工具，能幫助我們快速判斷一個複雜的多項式方程式，可能有哪些整數或分數的解（也就是「根」）。
 

應用範例：飛機自動駕駛的穩定性分析

從大樓的恆溫空調、汽車的定速巡航，到飛機的自動駕駛，都屬於「自動控制系統」。這類系統最重要的一項指標就是「穩定性」——當受到外部干擾時（如汽車遇到上坡、飛機遇到亂流），系統能否自動修正並回到預設狀態。

一個控制系統的穩定性，可以被轉換成一個稱為「特徵方程式」的高次多項式方程式 a(s)=0。分析這個方程式「所有根的位置」，就能判斷系統是穩定還是失控。

工程師面對這個複雜的方程式，第一步往往就是利用「有理根判定」來猜測可能的候選根，再搭配「餘式定理」快速驗證猜測是否正確。只要能找到一個根，就能將原方程式降階，進而解出所有的根。這個過程，與我們在課本上分解高次多項式的步驟幾乎一模一樣。可以說，我們在紙上練習的每一個步驟，都是在模擬工程師如何確保一台飛機的自動駕駛系統能夠安全又穩定地飛行。
 

插值多項式——創造流暢動畫與天氣預報的魔法

「內插法」(Interpolation) 是一種數學方法，指的是在已知幾個離散的數據點後，利用這些點來「估算」它們之間未知點的數值。而插值多項式就是找到一個能完美穿過所有已知數據點的多項式函數，用它來做為估算的依據。
 

應用範例：氣象預報的溫度曲線擬合

氣象站的溫度感測器可能每小時才記錄一次數據，例如：下午 1:00 測得 30°C，下午 2:00 測得 32°C，下午 3:00 測得 31.5°C。但如果我們想知道下午 1:30 的溫度大概是多少，該怎麼辦？

這時，「拉格朗日插值多項式」(Lagrange Interpolating Polynomial) 就派上用場了。科學家可以將 (1, 30), (2, 32), (3, 31.5) 這三個數據點，透過公式建立一個二次多項式函數。這個函數會精準地穿過這三個點，形成一條平滑的曲線。

有了這個函數，我們就能估算任何時間點的溫度，例如將 1.5（代表下午 1:30）代入函數，得到一個合理的估計值。而事實上，這種技術應用極廣：

• 電腦動畫：動畫師只需設定好角色在第1秒、第5秒、第10秒的關鍵動作（數據點），電腦就會利用插值法自動算出中間過程的流暢動畫。

• 數值模擬：在模擬氣流、水壩壓力等複雜物理現象時，電腦先算出幾個關鍵點的數值，再用插值法補完，大幅節省運算時間。

 

三、綜合應用示例：指數與對數的力量

 

在掌握了實數與代數運算的基礎後，我們將目光投向兩個更強大的數學工具：指數與對數。它們是描述「成長」與「衰變」、「放大」與「壓縮」等動態變化的最佳語言，應用範圍橫跨金融、物理到聲學等多元領域。

 

複利計算：用「指數」看見財富的雪球效應

核心概念：指數運算 (Exponential Operation)

指數成長的核心精神是「成長的結果，會成為下一期成長的基礎」。它描述了一種加速成長的模式，就像滾雪球一樣，越滾越大，速度越快。
 

應用場景：金融投資中的複利計算

當你將一筆錢存入銀行或投入某項投資時，除了本金之外，你還會賺取利息。如果這些利息在下一期會繼續產生利息，這就是「複利」。其計算公式為：

 

\(P_末=P(1+r)^n\)

 

公式拆解：

• P是你一開始投入的本金 (Principal)。

• r是每一期的利率 (Rate)，例如年利率 5% 就是 0.05。

• n是經過的期數 (Number of periods)，例如年。

• P末是期末連本帶利的总金額。

這個公式的威力在於指數n。假設你投資 10 萬元，年利率 5%。

• 第 1 年後，你會得到 10×(1+0.05)1=10.5 萬元。

• 第 2 年後，你會得到 10×(1+0.05)2=11.025 萬元。利息不僅由10萬本金產生，也由第一年的5千元利息產生。

• 第 10 年後，金額會成長為 10×(1+0.05)10≈16.29 萬元。

這就是為什麼愛因斯坦會稱複利為「世界第八大奇蹟」。指數運算完美地模擬了這種「利滾利」的加速過程，它是所有現代金融學、投資規劃與退休金計算的基石。

 

放射性衰變：用「指數函數」計算萬年古物的年齡

核心概念：指數函數 (Exponential Function)

指數不僅能描述成長，也能描述衰變。當一個數量的衰減速率與其「當前存量」成正比時，就會呈現指數衰變。最常用來描述自然衰變的函數是以e為底的指數函數。
 

應用場景：物理學中的放射性元素衰變

自然界中某些元素（如鈾-238、碳-14）的原子核並不穩定，會自發性地放出粒子或能量，轉變為另一種元素，這個過程稱為「放射性衰變」。其衰變公式為：

 

\(N(t)=N_0 e^{-λt}\)

 

公式拆解：

• N₀是放射性物質的初始數量。

• N(t)是經過時間t後，剩餘的數量。

• e是自然對數的底，約為 2.718。

• λ(lambda) 是該物質的衰變常數，代表衰變的速度。

這個公式最著名的應用就是「碳-14 定年法」。生物體內都有碳-14，死亡後便不再攝取，體內的碳-14會以可預測的指數速率衰變。科學家只要測量古生物化石中 N(t)（現存量）與 N0（初始量，可推算）的比例，就能反推出死亡至今的時間 t。從計算數萬年前的猛瑪象化石，到鑑定古老藝術品的真偽，指數函數就像一台時間機器，幫助我們窺探過去的秘密。

 

聲壓級計算：用「對數」量化我們聽到的世界

核心概念：對數運算 (Logarithmic Operation)

對數可以被想成是「指數的相反」。如果 103=1000，那麼 log10(1000)=3。對數最大的功能，就是能將一個「乘法／除法」關係的問題，轉換成「加法／減法」的問題，並能有效地「壓縮」極端巨大的數值範圍。
 

應用場景：聲學中的聲壓級（分貝 dB）計算

人類的耳朵能感知的聲音強度範圍極廣，從一根針掉落的聲音到噴射機起飛的巨響，最強的聲壓是我們能聽見最弱聲壓的一萬億倍！用傳統的線性單位來表示會非常不方便。因此，科學家引入了「分貝」(dB) 這個單位，其計算公式為：

 

\(L_p=20log_{10}({p\over{p_0}})dB\)

 

公式拆解：

• L_p就是我們常說的分貝值。

• p是測量到的實際聲壓。

• p₀是人類能聽見的最微弱聲壓的參考值。

• log₁₀是以 10 為底的對數。

對數在這裡扮演了「壓縮尺度」的魔法師。因為對數的特性，聲壓每增強 10 倍，分貝值僅增加 20 dB。

• 悄悄話（約30 dB）的聲壓是落葉聲（約10 dB）的 10 倍。

• 普通對話（約50 dB）的聲壓又是悄悄話的 10 倍。

• 一台摩托車（約90 dB）的聲壓是普通對話的 10,000 倍！

若沒有對數，我們在描述音量時可能要處理像「100,000,000,000」這樣的天文數字。對數運算讓我們能用 0 到 140 之間簡單的數字，來量化整個聽覺世界，成為聲學、音響工程與環境噪音標準的基礎。
 

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結語

從財務報表中確保公平的「有理數」，到描繪工程藍圖的「無理數」；從定義精密製造標準的「絕對值」，到優化手機影像的「乘法公式」；再從設計降噪耳機的「分式運算」，到確保飛機穩定的「多項式求根」；最後，我們看到了「指數」如何滾動財富、計算萬物年齡，以及「對數」如何量化我們聽見的世界。

現在，讓我們回到最初的問題：「學數學到底要幹嘛？」高中數學並非只是為了應付考試而存在的抽象符號遊戲，它更是現代文明得以運作的底層作業系統。我們在課本上學習的每一個概念，都是前人為了理解並解決真實世界問題而淬鍊出的智慧結晶。

108課綱一再強調的「數學素養」，其核心精神正在於此：我們學習的，不應只是僵硬的公式，而是一種強大的「思維方式」。這種思維方式教我們如何將一個複雜的問題拆解、量化，並透過邏輯推理找到最佳解方。無論你未來想成為工程師、科學家、金融分析師、程式設計師，甚至是藝術家或設計師，這種由數學訓練出的嚴謹邏輯與解決問題的能力，都將是你最寶貴的資產。

下一次，當你再面對一道複雜的數學題時，試著別只把它看作是考試卷上的一個挑戰。把它想像成一次思維的鍛鍊，你正在學習的，是驅動世界運轉的語言。因為數學的應用，遠比你想像的更廣闊、更精彩，而這把解鎖未來的萬能鑰匙，現在就在你的手中。
 

【Woody老師優質好文精選】

・學測數A如何準備？高分關鍵技巧與讀書計畫方向總整理！
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高中數學疑點解說：讓分母為零的「極點」(poles)

• 如果 N(x) 和 D(x) 有公因子 g(x)，即 \(f(x) = {{N(x)} \over {D(x)}} = {g(x)\tilde{N}(x) \over g(x)\tilde{D}(x)} = {\tilde{N}(x) \over \tilde{D}(x)}\)，在約掉 g(x) 之後，原本的「分母為零點」若同時使分子也為零，就只是可去奇點（removable singularity），而不是極點。
• 真正的極點必須是無法被約掉的分母根，才會導致函數在該點附近發散。

• 一般教科書習慣說「極點就是使分母為零的點」，這在不考慮約分的狀況下是正確的表述。
• 嚴格而言，要確認該點使分母為零且分子不為零（或無法約掉），才能稱作極點；否則只是「可去奇點」。

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